Les triangles et connaissances associées à cette forme géométrique

Définition

En cours de maths, le triangle se définit comme une figure plane dotée de trois côtés et angles. Ses trois angles sont nommés sommets et les trois segments qui relient ces sommets se nomment les côtés.

Propriétés concernant les triangles en géométrie

• La somme des angles d’un triangle est égale à 180° ;
• Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci ;
• Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues ;
• Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d’un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues et donc l’orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus ;
• Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse ;
• Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse ;
• Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires car leur somme est de 90°.

Les différents types de triangles existant

Il existe plusieurs types de triangles. Chacun d’entre eux dispose de caractéristiques particulières.

Le triangle plat

Le triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Visuellement, il ressemble à une droite.

Le triangle isocèle

Le triangle isocèle est un triangle qui dispose d’au moins deux côtés de même taille, ce qui fait que les deux angles adjacents à ce côté sont de même mesure.

Le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est un triangle particulier dans lequel tous les côtés sont de même longueur. Il en résulte que tous ses angles soient de 60° puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°.

Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l’un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.

Le triangle obtusangle

Un triangle obtusangle est un triangle dont un angle est supérieur à 90° et les deux autres inférieurs à 90°.

Le triangle acutangle

Le triangle acutangle est un triangle dont aucun des trois angles ne mesure plus de 90°.

Les opérations dans les triangles et les théorèmes associés

De nombreux théorèmes existent afin de calculer les mesures des côtés d’un triangle ou encore les mesures des angles de ces derniers. On y retrouve par exemple les célèbres théorèmes de Pythagore et théorèmes de Thalès.

Découvrez comment prendre des cours de maths 5ème.

Le théorème de Pythagore

Un peu d’histoire

Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C’était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l’arithmétique, la médecine ou encore l’astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd’hui encore, c’est à lui qu’on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d’or. Il reste une figure incontournable des sciences.

Énoncé

Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Explication

Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².

Utilité

Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :

Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.

Découvrez comment suivre des cours de maths bts pour progresser.

Méthodologie

On cherche l’hypoténuse

Ce théorème va, en effet, permettre de calculer précisément des longueurs :

Dans le cas où on a un triangle ABC rectangle en B dont les mesures sont : AB = 3 cm et BC = 4 cm. On cherche le côté AC qui est l’hypoténuse.

On commence par une introduction

Puisque le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore

On écrit l’égalité

AC² = AB² + BC²

On continue le calcul

AC² = 3² + 4²

AC² = 9 + 16

AC² = 25

On supprime la racine

AC = √25

AC = 5

Une phrase de conclusion

[ AC ] mesure 5 cm.

On cherche un autre côté

Prenons le même triangle que dans l’ exercice précédent sauf que nous ne connaissons pas AB et nous connaissons AC qui mesure 5 cm .

On commence par une introduction

Puisque nous sommes dans le cas où le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore

On écrit l’égalité

AC² = AB² + BC²

5² = AB² + 4²

Nous mettons l’inconnu en premier donc nous transformons l’opération en soustraction

AB² = 5² – 4²

On remplace

AB² = 25 – 16

AB² = 9

On supprime la racine

AB = √9

AB = 3

On conclue avec une petite phrase

[ AB ] mesure 3 cm.

Travaillez les maths en cours de maths cap.

La réciproque du théorème de Pythagore

Énoncé

Si, dans un triangle, le carré du plus grand des côté est égal à la somme des carrées des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Son hypoténuse est le côté le plus grand.

Explication

Si on a l’égalité AC² = BC² + AB², alors le triangle ABC est rectangle en B

Exemple

• MN=5,
• NP= 4,
• PM= 6
• Le côté le plus long est [MN]

MN²= 5² = 25 NP² + PM² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

On constate que MN² = NP² + PM²

De ce fait, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P.

Le théorème de Thalès

Énoncé

Dans un triangle ABC, si le point D est sur la droite (AB) et le point E sur la droite (AC) et que (DE) et (BC) sont parallèles, alors : [ frac { A D } { A B } = frac { A E } { A C } = frac { D E } { B C } ]

Utilité

Le théorème de Thalès permet de faire des calculs sur les triangles. Il en découle d’autres théorèmes ou règles, tel que le théorème de la droite des milieux. Il stipule la phrase suivante :

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté

La réciproque du théorème de Thalès

• Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
• Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
• Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.

Alors, si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On peut également la formuler autrement : Dans un triangle ABC, soient les points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC], [ text { si } frac { A D } { A B } text { et } frac { A E } { A C } ] sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Exercice : trouver la valeur grâce à un angle et un côté

quand on connait une mesure d’angle et une longueur d’un côté dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure du côté qui est a côté ou celui qui est a l’opposé, on fait:

BÂC = 60°C et AC = 5 cm

dans le triangle ABC rectangle en B.

[ cos left( widehat{ B A C } right)= frac { A B } { A C } ]

soit:

[ cos left( 60 right) = frac { A B } { 5 }]

[ A B = cos left( 60 right) times 5 = 2,5 text { cm }]

Approfondir la question des angles et savoir les calculer : Définition et mesure des angles

Définition d’un angle

Un angle représente l’écartement de deux demi-droite ayant la même origine. [ text { Un angle se note de la facon qui suit : } widehat { B O A } ] Ainsi, avec son nom, il est possible de déterminer quelques informations concernant l’angle :

• Le point O, correspondant à l’origine communes aux deux demi-droites, correspond également au sommet de l’angle.
• Les demi-droites [ OA ) et [ OB ) constituent, quant à elles, les côtés de l’angle.

Il est important de savoir avant de nommer un triangle que celui-ci peut se lire mais aussi se noter dans les deux sens. Mais, il est important que la lettre centrale soit, dans tous les cas, le sommet de l’angle.

Entraînez-vous avec des cours de maths en ligne.

La mesure d’un angle

Un angle se mesure grâce à l’unité de mesure qu’est le degré, noté °. Il est possible de connaître la mesure d’un angle grâce à un outil géométrique comme le rapporteur. Celui-ci est, très généralement, gradué de 0° à 180°. Il est également essentiel de ne pas confondre le nom et la mesure de l’angle car la notation représente aussi bien le nom de l’angle que sa mesure.

Le vocabulaire des angles

Les angles droits

On dit d’un angle qu’il est un angle droit si les côtés de cet angle sont perpendiculaires. Il mesure alors 90°.

Les angles aigus

On dit d’un angle qu’il est un angle aigu si cet angle est plus petit qu’un angle droit. Ainsi, sa mesure doit être comprise entre 0° et 90°.

Les angles obtus

On dit d’un angle qu’il est un angle obtus si cet angle est plus grand qu’un angle droit. Ainsi, sa mesure doit être comprise entre 90° et 180°.

Les angles plats

On dit d’un angle qu’il est un angle plat si les côtés de cet angle sont situés sur une même droite. Ainsi, cet angle mesure donc 180° et peut être confondu avec une droite.

Les angles nuls

On dit d’un angle qu’il est un angle nul si les côtés de cet angles sont superposés. Ainsi, cet angle mesure 0° et peut être confondu avec une demi-droite.

Les angles adjacents

On dit de deux angles qu’ils sont adjacents lorsque ces deux angles possèdent le même sommet, un côté commun et qu’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Attention, deux angles adjacents ne sont pas nécessairement complémentaires ou supplémentaires.

Les angles opposés par le sommet

On dit de deux angles qu’ils sont opposés par le sommet lorsque deux angles possèdent le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement les uns des autres. Il peut être intéressant de noter l’une des propriétés de ce type d’angle : deux angles, lorsqu’ils sont opposés par le sommet, sont de même mesure.

Les angles complémentaires

On dit de deux angles qu’ils sont complémentaires lorsque la somme des mesures de ces deux angles est égale à 90°.

Les angles supplémentaires

On dit de deux angles qu’ils sont supplémentaires lorsque la somme des mesures de ces deux angles est égale à 180°.

Les angles alternes-internes

On dit de deux angles qu’ils sont alternes-internes lorsque ces deux angles sont formés par deux droites dont une autre droite est sécante aux deux autres. Se plus, les deux angles doivent être situés de part et d’autre de la droite sécantes des deux premières droites. On peut reformuler la définition de la façon qui suit : Deux angles sont alternes-internes par rapport à deux droites et une sécante lorsqu’ils sont entre les deux droites, qu’ils sont chacun sur une droite et qu’ils sont de part et d’autre de la sécante. Il peut être intéressant de remarquer que deux droites et une droite sécantes forment plusieurs couples d’angles alternes-internes. A vous de vous entraîner pour les retrouver !

Les angles correspondants

On dit de deux angles qu’ils sont correspondant lorsque ces deux angles sont formés par deux droites et une autre droite qui est sécante aux deux premières droites. De plus, les angles doivent être situés du même côté sur chacune des deux droites. On peut reformuler la définition de la façon qui suit : Deux angles sont correspondants par rapport à deux droites et une sécante lorsqu’un des deux angles est à l’extérieur des deux droites et qu’ils sont du même côté de la sécante.

Propriété de parallélisme et angles

Angles correspondants et parallèles

Si deux droites parallèles coupées par une sécantes forment deux angles correspondants, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles correspondants de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.

Angles alternes-internes et parallèles

Si deux droites parallèles coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles alternes-internes de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.

La bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle correspond à la demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.

Cosinus, Sinus et tangente d’un angle aigus

La fonction cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ cos left( alpha right) = frac { text { cote adjacent } } { text { hypothenuse } } ] Il est important de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

La fonction sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ sin left( alpha right) = frac { text { cote oppose } } { text { hypothenuse } } ] Il est important de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

La fonction tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ sin left( alpha right) = frac { text { cote oppose } } { text { cote adjacent } } ] Il est important de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que la tangente d’un angle aigu est toujours supérieure à 0 degré mais elle n’est pas nécessairement inférieur à 1 comme le sont la fonction sinus et la fonction cosinus.

Remarque

Pour les fonctions Cosinus, Sinus et Tangente, il existe une petite phrase mnémotechnique : CAH SOH TOA (casse toi) avec CAH pour Cosinus Adjacent Hypoténuse, SOH pour Sinus Opposé Hypoténuse et TOA pour Tangente Opposé Adjacent.

La trigonométrie

Théorème de la somme des carrés

Pour tout angle aigu noté α, il est possible de vérifier l’égalité suivante : [ cos ^ { 2 } left( alpha right) + sin ^ { 2 } left( alpha right) = 1 ] Ainsi, en connaissant le cosinus (ou le sinus) d’un angle, il est possible de déterminer le sinus (resp. le cosinus) de ce même angle.

Théorème de la tangente

Pour tout angle aigu noté α différent de 90°, il est possible de vérifier la relation suivante : [ tan left( alpha right) = frac { sin left( alpha right) } { cos left( alpha right) } ] Ainsi, en connaissant le sinus et le cosinus d’un angle, il devient possible de calculer la tangente de ce même angle.

Top 17 comment calculer l'angle d'un triangle isocèle sans mesure synthétisé par Phuoc Kieng