Introduction

Le losange, souvent associé au cerf volant, est une figure intéressante du fait de ses propriétés qui se rapproche de celle du carré. Anciennement appelée rhombe, étudions cette figure sous tous ses angles !

Définition et propriétés

Par définition, un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Un losange est un polygone, c’est à dire une figure plane fermée, et qui a quatre côtés qui sont de même longueur.

D’ailleurs, le losange est un parallélogramme particulier, puisque ses côtés opposés sont parallèles. C’est un parallélogramme dont tous les côtés sont de même longueur. Il possède donc toutes les propriétés du parallélogramme :

Les diagonales du losange se coupent en leur milieu et leur point d’intersection est appelé le centre de symétrie. Les angles opposés sont de même mesure et les angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux. On observe clairement que deux des angles sont obtus et les deux autres aigus.

Le losange possède bien-sûr des propriétés supplémentaires :

Les diagonales du losange se coupent perpendiculairement et sont les 2 axes de symétrie de celui-ci. Elles sont aussi les bissectrices des angles : elles séparent chaque angle en deux angles égaux.

Un losange particulier est le carré. C’est un losange qui a ses quatre angles droits ou encore un losange qui a ses diagonales de même longueur.

Lorsque l’on passe en trois dimensions, on constate que l’on peut construire une figure ayant ses 6 faces losanges. On appelle ce polyèdre un rhomboèdre.

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Reconnaître un losange

Il existe diverses façon de déterminer si un quadrilatère est un losange. Regardons ces propriétés.

Dans un premier temps, on peut le faire grâce aux côtés du losange. Soit en partant d’un quadrilatère quelconque :

Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur alors c’est un losange.

Soit en partant d’un parallélogramme :

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange.

La deuxième solution est d’utiliser les diagonales du losange. Soit en partant d’un quadrilatère :

Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu alors c’est un losange.

Soit à partir d’un parallélogramme :

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.

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Périmètre et aire

Le périmètre est la longueur du contour de la figure. Dans le cas du losange où tous les côtés sont égaux, le périmètre mesure alors quatre fois la longueur du côté. On note [P=4c] où « c » est la longueur d’un côté. On le mesure souvent en m ou cm.

L’aire est la surface délimitée par la figure. On peut découper le losange en 4 triangles rectangles égaux.

Ainsi l’aire de chacun des triangles est [frac{frac{1}{2}Dtimesfrac{1}{2}d}{2}]

Donc l’aire du losange vaut [frac{Dtimes d}{2}]

On la note [A=frac{Dtimes d}{2}] où D est la longueur de la grande diagonale et d la longueur de la petite diagonale. On la calcule le plus souvent en cm² ou m².

On observe alors qu’il est nécessaire de connaître la longueur d’un côté pour obtenir le périmètre alors que pour l’aire, il faut connaître la longueur des diagonales.

On verra plus tard que le théorème de Pythagore permet de connaître la longueur d’un côté lorsque l’on connait les longueurs des diagonales et inversement.

Exercices

• Exercice 1 :

Un enfant cherche à déterminer les proportions de son cerf volant, qui est en forme de losange. Il souhaite connaitre la surface, l’aire de son cerf volant. Il mesure pour cela les diagonales de son cerf volant. Il obtient 30cm et 45cm. Quelle est l’aire de son cerf volant ?

Dans un losange, on sait que l’aire vaut [A=frac{Dtimes d}{2}]

Il nous suffit donc de remplacer par les valeurs mesurées : [A=frac{30times 45}{2}=675 cm^2]

L’aire de son cerf volant est de 675 cm²

• Exercice 2 :

Soit un parallélogramme ACBD. Faire un schéma. On suppose que AC mesure 5cm.

Déterminer la nature de la figure lorsque les diagonales sont perpendiculaires puis déterminer la longueur du côté BC.

On commence par faire un schéma de notre parallélogramme.

Puis on applique une de nos propriétés pour déterminer la nature de la figure :

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.

Notre quadrilatère ACBD est donc un losange. Or dans un losange, tous les côtés sont de même longueur, donc BC=AC=5 cm.

• Exercice 3 :

Déterminer le périmètre d’un losange de côté 4cm, 2m et 35cm. Déterminer l’aire d’un losange de diagonales mesurant : D=5cm et d=4cm; D=10m et d=2m; D=5m, d=1500cm

Donnons les réponses dans un tableau :

Il faut toujours faire très attention à ne multiplier que des valeurs ayant la même unité !

• Exercice 4 :

Soit un losange ABCD dont la diagonale AC mesure 2m. Déterminer la longueur de la diagonale BD.

On a vu que le carré est un losange particulier : c’est un losange ayant ses diagonales de même longueur.

Donc BD=AC=2m.

• Exercice 5 :

Soit un losange EFGH. On suppose que [widehat{EFG}=76 °] c’est à dire que l’angle formé par les segment EF et FG mesure 76 degrés. Déterminer la mesure de l’angle [widehat{HFG}] en degrés.

On a vu précédemment que les diagonales du losange sont aussi les bissectrices des angles. Donc la diagonale [FH] sépare l’angle [widehat{EFG}] en deux angles égaux qui sont [widehat{HFG}] et [widehat{HFE}]

On en déduit donc que [widehat{HFG}=frac{76}{2}=38 °]

Top 17 comment calculer le périmètre d un losange synthétisé par Phuoc Kieng