Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les coordonnées de points dans l’espace, la distance entre deux points dans l’espace et les coordonnées d’un milieu et d’une extrémité dans l’espace en utilisant une formule appropriée.

Nous devrions déjà savoir comment trouver tous ces éléments dans le plan. Tout point dans le plan a une coordonnée 𝑥 et 𝑦 et peut être écrit sous la forme (𝑥;𝑦). Chacun des nombres réels de la paire ordonnée représente le déplacement de ce point par rapport à l’origine, en d’autres termes, la distance positive ou négative par rapport au point (0;0).

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer leur milieu en utilisant la formule 𝑥+𝑥2;𝑦+𝑦2.

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer la distance entre eux en utilisant la formule de distance, démontrée par le théorème de Pythagore, (𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).

Nous allons examiner dans cette fiche explicative comment nous pouvons étendre ces formules pour inclure une troisième coordonnée lorsqu’il s’agit de points dans l’espace.

Dans notre premier exemple, nous considérerons dans quel plan se situe un point dont l’une de ses coordonnées est égale à zéro.

Dans notre prochaine question, nous examinerons comment calculer les coordonnées d’un point dans l’espace.

Nous rappelons que la formule du milieu de deux points du plan nous dit simplement de déterminer la valeur moyenne de deux points. On trouve la moyenne des cordonnées 𝑥 et la moyenne des cordonnées 𝑦. Nous allons maintenant étendre cette idée dans l’espace en déterminant la moyenne des cordonnées 𝑧 également.

Pour déterminer la moyenne de deux nombres, nous les additionnons puis divisons leur somme par deux.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons cette formule pour calculer le milieu de deux points dans l’espace.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons la formule du milieu pour calculer une extrémité à partir du milieu de deux points de l’espace et d’une autre extrémité.

Dans le plan, on peut calculer la distance entre deux points en utilisant une adaptation du théorème de Pythagore. D’après celui-ci, 𝑎+𝑏=𝑐, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long, appelé hypoténuse, d’un triangle rectangle.

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer la distance entre eux en utilisant la formule suivante : (𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).

Nous allons maintenant examiner comment calculer la distance entre deux points dans l’espace.

Considérons le prisme rectangulaire en trois dimensions 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, dessiné ci-dessous, et supposons que nous voulons voyager à partir du coin avant gauche le plus bas, 𝐴, jusqu’au coin arrière supérieur droit, 𝐺.

Tout d’abord, considérons le triangle 𝐴𝐵𝐹 sur le bas du prisme. Le théorème de Pythagore nous dit que 𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐹.

Donc, 𝐴𝐹=√𝑥+𝑦.

Maintenant, nous construisons un autre triangle 𝐴𝐹𝐺, avec sa base le long de 𝐴𝐹 et sa hauteur 𝐹𝐺.

On peut à nouveau utiliser le théorème de Pythagore de sorte que 𝐴𝐺=𝐴𝐹+𝐹𝐺. En substituant les longueurs de 𝐴𝐹 et 𝐹𝐺, on voit que 𝐴𝐺=√𝑥+𝑦+𝑧.

Par conséquent, 𝐴𝐺=√𝑥+𝑦+𝑧.

Dans nos deux derniers exemples, nous calculerons la distance la plus courte entre un point et l’un des axes du repère, ainsi que la distance entre deux points de l’espace.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.

Top 15 comment trouver les coordonnées d un point synthétisé par Phuoc Kieng