Pré requis:

Les coordonnées d’un point dans un repère cartésien

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

1. Les coordonnées d’un point dans un repère cartésien
2. Axes de coordonnées ( vecteurs)

Objectif suivant :

Le point « coordonnées »

2°) Le point d’intersection de deux droites perpendiculaire..

3°) étude d’un système de deux équations de deux droites.

tableau

1°) Repérage :

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

DOSSIER : Vecteur : CALCULS des COORDONNEES D’UN POINT

( Point obtenu par translation ou par symétrie.)

I) La TRANSLATION DE VECTEUR donné

a ) par la représentation graphique.

b) détermination de la position du point « B » par le calcul

II) SYMETRIE d’un point PAR RAPPORT A UN POINT

Recherche des coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I »

III) SYMETRIE d’un point PAR RAPPORT A L’ORIGINE DU REPERE

IV ) SYMETRIE d’un point PAR RAPPORT A UN AXE.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                      Â

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné ,

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Un vecteur étant donné par ses coordonnées dans une base

, , tout point a pour image dans la translation le point de coordonnées

Pour ; et pour

Avec

D’ où les coordonnées du vecteur

Et les coordonnées du vecteur « v »

Exemples d’exercices :

Données :

Les coordonnées du vecteur « v » sont :

; et un point « A » tel que

Questions : Quelles sont les coordonnées de l’image de A dans la translation

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

Nous écrivons :

( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

telle que

a )détermination de la position du point « B » par la représentation graphique.

Procédure :

On trace le vecteur « » ; ensuite on place le point « A » et à partir du point « A » , on trace une parallèle au vecteur « v » dont la longueur est égale à la norme du vecteur ; (voir ; tracer d’un parallélogramme)

On relève les valeurs des coordonnées du point « B » sur le repère :

et

On écrit alors : on peut simplifier l’écriture :

b)détermination de la position du point « B » par le calcul :

( Voir le calcul des coordonnées du vecteur )

Les données sont : et ; avec « A » à pour image dans la translation de le point « B » de coordonnées

On en déduit que : les coordonnées du vecteur sont : ;

Nota : au collège ; l’écriture les coordonnées du vecteur sont : ; peut se simplifier ; sachant e :

Et on accepte de ‘écrire que les coordonnées du vecteur AB sont : ;

Nous savons que ;

puisque :

on peut donc écrire

=

Alors ; on calcule les coordonnées de

= ; soit ;

et Alors ; on calcule les coordonnées de

Soit :

( sos calculs)

Conclusion : Les coordonnées du point « B » sont :

On écrit :

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT.

Pré requis :

a) Voir « opposé » d’un nombre et la symétrie par rapport à O.

b) calcul des coordonnées d’un vecteur

c) le vecteur colinéaire opposé.

d) le vecteur nul .

Recherche des coordonnées du point « B » symétrique du point « A » par rapport au point « I » : Exemple : I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1)

Un point « » d’abscisse et d’ordonnée étant donné : .

Tout point a pour image dans la symétrie centrale , le point « B » tel que :

Ou

Remarque : si je connais les coordonnées du vecteur IA , je peux soit en déduire, ou calculer les coordonnées du vecteur IB .

1°) Calcul des coordonnées du vecteur :

sur « » = xA – x I = ( +2 ) – ( +3) = ( -1 ) ( SOS calcul numérique?)

sur yi = y A – y I = ( + 1) – ( + 2) = ( -1)

conclusion :

les coordonnées du vecteur = ( -1 ; -1 ) ; et les coordonnées du vecteur « opposé » est – = ( + 1 ;+ 1 )

« l’opposé du vecteur ? ? ? »

2°) Coordonnées du vecteur

sur « xi » : xB x I = ( xB ) – ( +3)

sur « yi » : y B y I = ( yB) – ( + 2)

soit ( xB 3 ; yB 2)

le vecteur ( xB3 ; yB -2 ) = le vecteur si et seulement si :

xB3 = 1 et si yB 2 = 1 :

après calculs : xB = 4 et yB = 3 ;

les coordonnées de B sont ( 4 ;3 )

Conclusion : les coordonnées du point B symétrique du point A par rapport au point I sont ( + 4 ; + 3 )

(commentaire : les coordonnées du point B sont aussi les coordonnées du vecteur telles que vecteur ( + 4 ; + 3 )

III) SYMETRIE PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A) dans la symétrie .

Pour obtenir la symétrie d’un point par rapport à l’origine il suffit de prendre les valeurs « opposées » aux coordonnées données .

Exemple :

Soit un point A( +3 ; +2) ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère .

Si A ( +3 ; +2) ; son image ( B) dans la symétrie centrale et B ( opp.+3 ; opp.+2)

Soit B ( -3 ; – 2)

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

La symétrie peut se faire par rapport à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

( voir symétrie axiale ; orthogonale ; réflexion)

Exemples :

a) A ( + 3 ; +2 ) a pour image dans la symétrie par rapport à ( O ) le point A’ ( + 3 ; -2 )

(* -2 est l’opposé de +2)

b) A ( + 3 ; + 2 ) a pour image dans la symétrie par rapport à ( O ) le point A’’ ( – 3 ; + 2 ).

(* – 3 est l’opposé de +3)

Conclusion :

1°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des abscisses , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’ ( x A ; opp. y A) ; ou A’( x A ; – y A)

2°) Dans la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées , un point A ( x A ; y A) a pour image le point A’’ (opp. xA ; y A) ; ou A’ ( – x A ; + y A)

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE

A) Traduire : A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A) dans la symétrie .

B) voir cas par cas :

I) TRANSLATION DE VECTEUR donné

SOS Cours : vecteur dans un plan,

Si nous écrivons :

T : A B ( lire : le point A à pour image le point B par la translation du vecteur « v ») ;

telle que

a ) Faites une représentation graphique :

b) Déterminer la position du point B par le calcul :

II) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN POINT

Comment opère -t -on pour rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » ? :

III) SYMETRIE PAR RAPPORT A L’ ORIGINE DU REPERE.

A ( xA ; y A) a pour image B (- xA ;- y A) dans la symétrie .

Comment peut- on obtenir les coordonnées du point dans la symétrie d’origine O , dans un repère ?.

IV ) SYMETRIE PAR RAPPORT A UN AXE.

Soit un point A ( xA ; y A) quelles sont les coordonnées de A ‘ et A’’ symétriques axiales dans un repère cartésien ?.

EVALUATION

1°)Les coordonnées du vecteur « v » sont :

( 2 ,-3) ; et un point « A » tel que A (1 ;2)

Questions : quelles sont les coordonnées de l’image de A ; notée « B » dans la translation T

a )par la représentation graphique.

b) par le calcul.

2°) Rechercher les coordonnées du point B symétrique de A par rapport au point « I » : On donne I ( 3 ; 2) ; A ( 2 ;1).

a) solution graphique .

b) par le calcul .

3°) Soit un point A( +3 ; +2) ; donner les coordonnées du point B par rapport au point O , origine d’un repère .

a) Solution graphique

b) Par le calcul

4°) Soit un repère cartésien orthogonal et un point A ( +3 ; +2) :

par rapport à l’axe ( O ) et par rapport à l’axe ( O )

a) Par le calcul.

b) Par le graphique

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