Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A :

Les côtés [AC] et [AB] forment l’angle droit du triangle tandis que le côté [BC] forme l’hypoténuse, le plus grand côté se situant face à l’angle droit.

Rappel : l’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :

BA < BCAC < BC

Les deux autres côtés (AB et AC), adjacents à l’angle droit, sont les cathètes. Selon l’angle considéré (B ou C), les cathètes deviendront sinus pour l’une et cosinus pour l’autre; c’est la base de la trigonométrie.

Les angles

Ses trois angles sont A, B et C. Les angles B et C sont complémentaires. Si B = C = 45°, le triangle est rectangle-isocèle.

Périmètre et aire

Périmètre

P = AB + BC + AC

Aire

A = b x h / 2 où b et h sont la base et la hauteur. Autrement dit, les deux autres côtés du triangle qu’on nomme cathètes.

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

Théorème de Pythagore

D’après le théorème de Pythagore, si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors c’est un triangle rectangle.

Si BC2 = AC2 + AB2alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple : On a un triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 10 cm et AC = 6 cm. ABC est-il rectangle ?

Le côté le plus long ici est bien [BC] avec 10cm.

D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC².

Autrement dit :BC² = 10² = 100AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC².

Alors, le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC].

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Réciproque du cercle circonscrit d’un triangle rectangle

Le théorème du cercle circonscrit démontre que, si le triangle ABC est rectangle en A, alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [BC], qui est l’hypoténuse.

Démonstration :

Soit O le milieu de [BC] et A’ le symétrique de A par rapport à O.

• Les diagonales du quadrilatère ABA’C se coupent en leur milieu O, ce quadrilatère est donc un parallélogramme.
• Or le parallélogramme ABA’C a par hypothèse un angle droit en A, c’est donc un rectangle.
• On sait que les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc OA = OB = OC = OA’.
• Par conséquent O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. [BC] est donc le diamètre du cercle circonscrit.

Ainsi, dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Réciproque du théorème

Mais ce qui nous intéresse ici, c’est la réciproque du théorème : si le triangle ABC est inscrit dans un cercle et si le côté [BC] est un diamètre de ce cercle alors le triangle ABC est rectangle en A.

Démonstration :

Soit O, le milieu du segment [BC]. Par hypothèse, le point O est aussi le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. On note β l’angle B, 𝜸 l’angle C. Il s’agit de montrer que 𝜶, l’angle A = 90°.

Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC (rayon du cercle circonscrit), donc CÂO = 𝜸 = angle C

De plus, le triangle AOB est isocèle en O donc BÂO = β = angle B

Ainsi : 𝜶 = BÂO + CÂO = β + 𝜸

Comme la somme des angles d’un triangle est égale à 180° : 𝜶 + β + 𝜸 = 180⟺ 𝜶 + 𝜶 = 180⟺ 2𝜶 = 180⟺ 𝜶 = 90

De ce fait, le triangle ABC est rectangle en A.

Top 14 comment prouver qu'un triangle est rectangle synthétisé par Phuoc Kieng